Sáng kiến kinh nghiệm một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 cách giải các dạng toán về tính tích phân cơ bản ở bậc THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH

TÍCH PHÂN CƠ BẢN Ở BẬC THPT Người thực hiện: Mai Huy Sáu Chức vụ: Giáo Viên SKKN thuộc môn: Toán 1 THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang 1. Mở đầu ­ Lý do

chọn đề tài1 ­ Mục đích nghiên cứu. 2 ­ Đối tượng nghiên cứu 2 ­ Phương pháp nghiên cứu. 2 2. Nội dung sáng kiến. 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2. Thực trạng vấn đề 3 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã được sử dụng 2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ 4 2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ 6 2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác . 12 2.3.4. Một số tích phân cơ bản của hàm số mũ và lôgarit. 15 2 2.4. Hiệu quả SKKN 19 3. Kết luận, kiến nghị. 19 1. Mở đầu ­ Lý do chọn đề tài. + Tính tích phân là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh vào đại học. Rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tính tích phân là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng. Trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và dạy bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thông học sinh thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải, học sinh không biết bài này thì đổi biến hay dùng phương pháp tích phân từng phần. + Đối với những bài toán như vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sáng tạo trong giải toán. Chúng ta có thể thông qua những hướng dẫn giải bài toán “bài toán gốc” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời giải. Xuất phát từ bài toán “bài toán gốc” định hướng cho học sinh “suy luận” từ đó “quy bài toán lạ” về “bài toán quen” củng cố lòng tin cho học sinh học toán, say mê với toán và giải toán có hiệu quả. Dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tích phân ở cấp THPT, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân có trong sách giáo khoa, các bài toán tích phân trong kỳ thi THPT Quốc gia?”. + Trong khoảng thời gian giảng dạy và nghiên cứu về tích phân, tôi nhận thấy hiện chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu và chi tiết về cách giải bài tập tích phân cơ bản thường gặp. + Qua giảng dạy, tôi đúc rút kinh nghiệm và mong muốn trao đổi với đồng nghiệp một số hướng suy nghĩ để giải quyết một số bài tập tích phân cơ bản ­ dạng quen thuộc (không có ý tìm ra hay đưa ra cách giải tổng quát cho một dạng toán tích phân cụ thể, hay nêu bài toán tổng quát và lời giải tổng quát cho tích phân ấy, mà tôi chỉ nêu các hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải” , suy luận được khi giải toán tích phân). ­ Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất. + Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng 3 dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở lớp 12. ­ Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tích phân cơ bản thường gặp trong chương trình giải tích lớp 12. ­ Phương pháp nghiên cứu: + Xây dựng cơ sở lí thuyết. + Khảo sát thực tế. + Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh… 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 1) Bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất của nguyên hàm, các tính chất của tích phân (SGK giải tích lớp 12) 2) Để giải toán tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” thường 1 gặp, Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a 0 ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ; a dx = d (ln x) ; x 1 1 sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k 0 k k x sin x 1 dx = d ( x 2 + a 2 ) dx = d ( ) Các vi phân phức tạp hơn: ; 2 2 2 cos x cos x x +a dx x = d ln( x + x 2 + k )  ; (1 − 1 ) dx = d ( x + 1 ) . dx = −d ( a 2 − x 2 ) ;  x x2 + k x2 a2 − x2 3) Ngoài ra học sinh phải nắm được các vấn đề cốt yếu sau đây: a) Sử dụng thành thạo định lý Niu tơn – Leibnitz(SGK GT 12): Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a ; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì b f ( x)dx = F ( x ) a b = F ( b) − F ( a) a Chú ý: Giả thiết f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý. Một số học sinh cứ tưởng có được F ( x ) là tính được tích phân, 3π 4 3π dx chẳng hạn nếu viết I = = tanx 4 =1( ? ) 2 cos x 0 0 Ta đã biết f ( x ) = 1 không cos 2 x π 3π  0;  nên I không tồn tại. 2 4  b) Phương pháp đổi biến số. xác định tại x = 4 Cơ sở của nó là định lý sau: Nếu t = ϕ ( x) đơn điệu trên đoạn [ a ; b ] thì b , f (ϕ ( x ))ϕ ( x)dx = ϕ (b ) ϕ (a) a f (t )dt . (SGK giải tích lớp 12) c) Phương pháp tích phân từng phần. b b b Ta có: udv = uv − vdu . (SGK giải tích lớp 12) a a a 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua giảng dạy bài toán tính tích phân, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn. Không biết bài này dùng phương pháp tính nào đổi biến hay tích phân từng phần), nếu đổi biến số thì đổi như thế nào(đặt x = t hay t = u ( x ) ), còn nếu dùng phương pháp tích phân từng phần thì không biết chọn u và dv sao cho thích hợp…Kết quả khảo sát khi tôi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm học 2013­ 2014 khi chưa áp dụng sáng kiến này: Điểm < 5 Lớp Sĩ số 12D 12P Điểm 5 <8 Điểm 8 số lượng % số lượng % số lượng % 38 13 34,21 23 60,52 2 5,27 47 17 36,17 24 51,06 6 12,77 Từ kết quả trên tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh có số điểm dưới trung bình là quá cao, trong khi đó học sinh đạt điểm giỏi lại quá thấp. Điều này khiến bản thân tôi phải trăn trở tìm ra phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách giải các dạng toán tích phân cơ bản một cách dễ dàng và hiệu quả nhất. 2.3 Các giải pháp được sử dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải các tích phân cơ bản. Thông qua một số dạng tích phân cơ bản tôi hướng dẫn cho học sinh các cách tiếp cận khác nhau, áp dụng vào giải các tích phân đơn giản khác: Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (với giả thiết hàm số dưới dấu tích phân liên tục trong đoạn đang xét): 2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ: β ' β f ( x) dx = ln f ( x) a) Tích phân I1 = α α f ( x) x3 dx Ví dụ 1: Tinh tích phân I = 2 0 x +1 1 5 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)