Sáng kiến kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 trường THCS nguyễn hồng lễ

MỤC LỤC TT Nội dung Trang Mở đầu 1 1.1 Lý do chọn đề tài 1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1 1.3 Đối tượng nghiên cứu 2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 1.5 Nh

ững điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2 1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trư�

�c khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16 2 3 Kết luận, kiến nghị. 16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng sáng kiến kinh nghiệm ngành giáo dục và đào tạo huyện, Tỉnh và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1. MỞ ĐẦU. 1.1. Lí do chọn đề tài. Trong chương trình THCS, môn toán chiếm một vai trò rất quan trọng. Với đặc thù là một môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi khám phá tri thức, và khả năng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của mình vào thực tế, cuộc sống. Mà toán học còn là môn học công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần phát triển năng lực cho học sinh một cách toàn diện. Chính vì thế việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học, giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém trong học toán là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán. Nhất là đất nước ta đang trong thới kỳ hội nhập, thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu biết, có tri thức. Trong chương trình môn đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng, không chỉ để phân tích một đa thức thành nhân tử mà còn sử dụng nó trong việc làm một số bài toán khác. Việc áp dụng dạng toán này rất phong phú, đa dạng như biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh chia hết, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… hầu hết sử dụng phương pháp biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy giáo viên cần phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương trình lớp 8 và là cơ sở cho các em học ở lớp trên. Qua thực tế giảng dạy: Phân tích đa thức thành nhân tử không khó nhưng nhiều học sinh nắm chưa chắc, chưa vận dụng biến đổi linh hoạt, sáng tạo vào giải toán. Chính vì vậy mà tôi đã chọn đề tài: “ Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 tại trường THCS Nguyễn Hồng Lễ ” 1.2. Mục đích nghiên cứu. Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 tại trường THCS Nguyễn Hồng Lễ” Cụ thể là : Mục đích của phương pháp này giúp nâng cao chất lượng môn Toán cho học sinh lớp 8, rèn luyện cho học sinh phải tích cực chủ động biết tự học tự tìm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2 hiểu thêm ngoài những kiến thức SGK, phải tham khảo thêm nhiều tài liệu. Người giáo viên không phải chỉ đưa ra kiến thức mà phải hướng dẫn các em tự học tự tìm tòi. Điều này đặc biệt quan trọng cần thiết trong công tác BDHSG, muốn thành công được khả năng tự học của học sinh phải tốt, học sinh say mê yêu thích môn Toán, mỗi bài toán tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tăng cường khả năng tự học, tự sáng tạo của học sinh điều này rất có ích trong BDHSG ở Trường THCS Nguyễn Hồng Lễ. 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy Toán lớp 8A2 và bồi dưỡng HSG lớp 8 Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 8A2, HSG trường THCS Nguyễn Hồng Lễ. Đề tài nghiên cứu về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 để giúp học sinh biết, nắm vững hơn, rộng hơn về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và học toán nói chung trong học toán lớp 8 và BD HSG lớp 8. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực hành - Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế - Phương pháp thu thập thong tin - Đúc rút một phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy môn Toán lớp 8 1.5. Những điểm mới của SKKN( đây là SKKN làm lần đầu) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử, là một trong những chuyên đề toán học quan trọng có liên quan đến rất nhiều các chuyên đề Đại số lớp 8 và các lớp học sau này. - Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kĩ năng biến đổi đầu tiên của chương trình đại số. - Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta không chỉ sử dụng một phương pháp mà ta có thể phối hợp sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. - Đặc biệt trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy học theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh được tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những bài toán cụ thể, các phương pháp giải cụ thể, sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, và tạo ra sự hứng thú, say mê học tập tìm tòi nghiên cứu các bài tập nâng cao. - Dạy học hướng dẫn học sinh “ Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8” không chỉ phát huy tính năng động sáng tạo cho học sinh mà nó còn phát huy được khả năng liên hệ kiến thức cũ và mới cho học sinh. Bên cạnh đó nó còn có tác động tích cực đến khả năng vận dụng kiến thức đã học vào thực tế đời sống hàng ngày. Từ đó giúp các em tiến bộ hơn, thành đạt hơn trong học tập, cũng như trong đời sống, để các em có thể hoàn thành ước mơ, hoài bão của mình trong đời sống, và kế thừa sự nghiệp của đất nước, tiếp thu vận dụng sáng tạo nền văn minh của nhân loại. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. - Đối với giáo viên: Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở để các em có thể biến đổi, rút gọn các biểu thức đại số và đây là một trong những kỹ năng quan trọng trong học đại số. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy có nhiều giáo viên lại không chú trọng đến vấn đề này, mà lúc nào cũng yêu cầu học sinh phải rút gọn thành thạo các biểu thức đại số. x 1 + x2 x 4 VD: Rút gọn biểu thức A= ( 2 2 x ) : (1 ) x2 x2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 4 Để rút gọn được biểu thức trên, thì học sinh phải biết cộng trừ các phân thức đại số phải biết quy đồng mẫu các phân thức phải biết tìm mẫu chung phải biết phân tích đa thức thành nhân tử. -Đối với học sinh: - Trong thực tế hiện nay mức độ biến đổi tính toán của các em cũng đang còn một số vướng mắc, đặc biệt các dạng toán khác mà trong đó có liên quan đến phân tích thành nhân tử - Trong các năm gần đây các đề thi luôn có phần thi rút gọn biểu thức - Có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải một số dạng toán nâng cao rất hiệu quả trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. - Khảo sát học sinh về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó tại lớp 8A3 trường THCS Nguyễn Hồng Lễ năm học 2018 – 2019 kết quả phản ánh như sau: Lớp Số HS kiểm tra 8A 3 43 Giỏi 13 30,2% Khá 18 41,9% TB 9 20,9% Yếu 3 7,0% Trên cơ sở nắm vững lý luận và nắm bắt rõ thực tế tôi đề xuất giải pháp thực hiện như sau: 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. Với hoạt động giảng dạy của giáo viên lớp chính khóa : Qua các tiết học, Tôi đã thực hiện nhiều biện pháp kết hợp; dành sự quan tâm đặc biệt đến đối tượng học sinh; tăng cường việc vận dụng đổi mới các phương pháp dạy học nhằm phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh ; tạo cho mình có những phương pháp dạy học đặc trưng, qua đó tạo sự hứng thú cho các em trong việc học tập bộ môn Toán 8 một cách có hiệu quả .Để thực hiện được điều đó, giáo viên phải thực hiện một số biện pháp sau: + Giáo viên giảng dạy môn Toán 8 phải biết tạo ra các tình huống có vấn đề một cách dí dỏm, nhẹ nhàng; nêu câu hỏi đặt vấn đề; câu hỏi dẫn dắt gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh yếu; giảng kĩ; chỉ bảo một cách tỉ mỉ như: cách ghi chép bài và nghe giảng; cách viết, cách đặt phép toán cho đúng và chính xác; cách học bài và làm bài tập về nhà; việc chuẩn bị bài, đọc bài mới trước khi đến lớp; qua đó giúp học sinh biết cách tự học hiệu quả; biết cách phân tích tìm ra lời giải của bài toán; biết cách giải những bài toán có nội dung tương tự; rèn luyện được TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 5 cho học sinh có tính cẩn thận chính xác trong học tập và tạo được hứng thú cho các em. Từ việc học sinh biết cách giải bài tập, tôi hướng dẫn và tập cho các em biết cách trình bày lời giải của bài toán là: các kết luận; các khẳng định đều phải có căn cứ; dùng từ ngữ phải rõ ràng; đầy đủ các bước. + Trong giờ học, tôi chủ động tạo không khí vui vẻ, gần gũi; chia sẻ; giúp đỡ học sinh; khuyến khích học sinh bộc bạch những lo lắng; khó khăn; những kiến thức chưa hiểu rõ; để phát hiện ra những kỹ năng học sinh còn yếu kém; những “lỗ hổng” kiến thức của học sinh; từ đó có kế hoạch tổ chức phụ đạo thêm cho học sinh vào buổi chiều: giúp đỡ các em ôn tập lại các kiến thức có liên quan; bù đắp những lỗ hổng kiến thức ở các lớp dưới. + Cũng thông qua nội dung các bài học, có những bài toán có liên quan đến thực tế cuộc sống của các em. Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy được vai trò, tác dụng của kiến thức này; áp dụng được gì từ kết quả bài toán đó vào thực tiễn đời sống của các em. + Với mỗi tiết học, Tôi vẫn thường xuyên kiểm tra đánh giá học sinh về ý thức và thái độ học tập bằng các phương pháp quen thuộc như: kiểm tra bài cũ; kiểm tra sự chuẩn bị bài của học sinh; kiểm tra đồ dùng học tập của học sinh; kiểm tra vở ghi chép bài của học sinh xem có đầy đủ hay không ?. Kết hợp với việc theo dõi việc nghe giảng và học bài trên lớp của học sinh. Từ đó, điều chỉnh phương pháp giảng dạy, điều chỉnh việc giao bài tập về nhà cho phù hợp với từng đối tượng học sinh; khi hướng dẫn bài tập về nhà giáo viên nêu cụ thể những nội dung cần học của học sinh ở nhà và sự chuẩn bị cần thiết cho tiết học sau. Trong việc giảng dạy cần lưu ý đến định hướng phát triển năng lực của học sinh, không chỉ chú trọng truyền tải hết nội dung SGK là đủ mà cần phải mở rộng nâng cao cho phù hợp với đối tượng học sinh, khi khen chê học sinh cũng phải phù hợp với đối tượng người học. Bồi dưỡng năng lực định hướng đường lối giải bài toán Công việc định hướng tìm đường lối giải bài toán là một vấn đề khó khăn cho những học sinh . Để giải quyết tốt bài toán thì cần phải có định hướng giải đúng. Do đó việc định hướng giải bài toán là một vấn đề rất cần thiết và rất quan trọng. Việc xác định đường lối giải chính xác sẽ giúp cho HS giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn và tránh mất được thời gian. TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 6 Chính vì vậy, đòi hỏi mỗi GV cần phải rèn luyện cho HS khả năng định hướng đường lối giải bài toán là điều không thể thiếu trong quá trình dạy học toán. 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.1. Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung: a. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 4x2 – 12x = 4x(x – 3) b. 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y)(5x +4y) b. Chú ý: - GV cần nhấn mạnh cách xác định nhân tử chung cho học sinh. - Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung. 1.2. Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức. a. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 4x2 - 12x + 9 c. 16x2 - 9(x + y)2 b. 27 - 27x + 9x2 - x3 b. 1 - 27x3y6 Giải a. 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 b. 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) d. 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4) b. Chú ý: - Nắm vững hằng đẳng thức. - Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2 1.3. Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) b. ax + x + a + 1 = (ax + x) + (a + 1) = x(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(x + 1) c. x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1) b. Chú ý: - Thông thường mỗi nhóm phải xuất hiện nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 7 - Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm khác nhau. Chẳng hạn ở ví dụ b ta có thể nhóm bằng cách khác như sau: ax + x + a + 1 = (ax + a) + (x + 1) = a(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(a + 1) - Nếu đa thức có nhân tử chung thì nên đặt nhân tử chung trước khi nhóm. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] = 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z) 1.4. Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Đối với cách này để tách một cách nhanh chóng ta thường dựa vào nghiệm của đa thức. -Định nghĩa nghiệm của đa thức Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử x - a. Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau: - Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm của đa thức. - Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của luỹ thừa bậc lẻ thì - 1 là nghiệm của đa thức. - Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do. - Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x= thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất. * Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì đều là số nguyên. a. Đa thức là tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c * Cách 1: Tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho: b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích a.c TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com và 8 Bước 2: Tìm hai số nguyên có tích bằng a.c mà có tổng bằng b Ví dụ: Phân tích đa thức: x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = (x2 – x) - (2x – 2) = x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Nhưng trong thực tế không phải lúc nào cũng sử dụng được cách 1. Chính vì thế ta có cách sau. * Cách 2: Biến đổi tam thức như sau. F(x) = ax2 + bx + c = a(x2 + = a(x + x+ ) = a(x2 + 2 x+ - + ) )2 + - Nếu b2 – 4ac < 0 thì F(x) không phân tích được. - Nếu b2 – 4ac > 0 thì F(x) sẽ phân tích được thành hai đa thức bậc nhất. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4) * Chú ý: Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa thức bậc 2 một biến. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) b. Đa thức bậc cao: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 Ta có các ước của 18 là:  1;  2;  3;  6;  9;  18. f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18 f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44 Hiển nhiên  1 không là nghiệm của f(x), ta thấy: ; ; ; không nguyên nên - 3;  6;  9;  18 không là nghiệm của f(x); không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x), chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Nên ta có thể tách như sau: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x – 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 9 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) 1.5. Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử a. Thêm bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức: 4x4 + 81 Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của hai bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 còn thiếu 2AB. Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức: Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9). * Chú ý: - Trong phương pháp này ta thường sử dụng hai hằng đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 và hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) - Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài toán được. b. Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 - x + x2 + x + 1 = x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1). 1.6. Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho được đa thức mới có bậc nhỏ hơn và đơn giản hơn. Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12. Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2) = (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức đã cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x - 12) - 24 (*) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 Đặt x2 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) 1.7. Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Các hệ số  1;  3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả: x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được hệ: Xét bd = 3 với b, d  z; b  { 1;  3}; với b = 3 thì d = 1. Hệ trên thành: Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) * Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3 = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 1.8. Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị tuyệt đối Trong phương pháp này trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nếu thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0 Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa x - y thì cũng chứa y - z và z - x. Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 11 Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với  x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2) 2 = - 2k => k = - 1 Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) 2. ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁN 2.1. Dạng toán: Chứng minh chia hết: Bài 1. Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) Giải Nhận xét: Ta cần phân tích 55n + 1 – 55n thành tích của 54 với một số nào đó. Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54. 55n Nên 55n + 1 – 55n luôn chia hết cho 54 với mọi n là số tự nhiên Bài 2. Chứng minh rằng: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – 3 luôn chia hết cho x2 – 4x – 3. Giải 4 3 2 Ta có: 2x – 13x + 15x + 11x – 3 = 2x4 – 5x3 + x2 – 8x3 + 20x2 – 4x – 6x2 + 15x – 3 = x2(2x2 – 5x + 1) – 4x(2x2 – 5x + 1) – 3(2x2 – 5x + 1) = (2x2 – 5x + 1)(x2 – 4x – 3) 2.2. Dạng toán: Giải phương trình quy về pt tích: f(x) = 0 nếu có nghiệm thường được giải bằng cách phân tích f(x) thành nhân tử đẻ đưa về phương trình tích. Ví dụ 1: Giải phương trình: (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192 Giải 2 (x - 1)(x + 1) (x + 3) = 192 (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192 (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) = 192 Đặt x2 + 2x - 1 = y ta có: (Điều kiện y -2) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 12 (y + 2)(y - 2) = 192 y2 - 4 = 192 y2 = 196 y =  14 Chỉ có y = 14 thoả mãn * Với y = 14 ta có x2 + 2x - 1 = 14 x2 + 2x - 15 = 0 (x - 3)(x + 5) = 0 x = 3 và x = - 5 Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 và x = - 5 Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Giải Đặt x - 7 = y, phương trình đã cho là (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 +6y2 + 1 = 8 y4 +6y2 - 7 = 0 (y2 - 1)(y2 + 7) = 0 (y2 + 7) > 0 với mọi y nên (y2 - 1) = 0; y =  1 tức là x = 6, hoặc x = 8 Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phương trình. 2.3. Dạng toán: Tìm tập xác định và rút gọn một phân thức Muốn tìm tập xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũng phải phân tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử. Ví dụ 1: Tìm tập xác định và rút gọn phân thức sau A= x3 - 5x2 - 2x + 24 x3 - x2 - 10x - 8 Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24 = x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 = x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2) = (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x - 4) Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - 8 = x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - 8 = x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 3x - 4) = (x + 2)(x + 1)(x - 4) Tập xác định của phân thức là x  -1; x  -2; x  4 Phân thức được rút gọn là (x + 2)(x - 3)(x - 4) x-3 A= = (x + 2)(x + 1)(x - 4) x+1 2.4. Dạng toán: Giải bất phương trình Ví dụ 1: giải bất phương trình sau: x2 - x - 12 < 0 (4) Giải (4) x2 - 4x + 3x - 12 < 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 13 x(x - 4) + 3(x - 4) < 0 (x - 4)(x + 3) < 0 Lập bảng xét dấu: x -3 x +3 - x-4 - 0 4 + - + 0 + (x - 4)(x + 3) + 0 0 + Từ bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình là: - 3 < x < 4 2.5. Dạng toán: Tính giá trị của biểu thức: Ví dụ: Cho x4 + y4 = 1 Tính giá trị của biểu thức: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 Giải Để giải bài toán trên ta phải biến đổi biểu thức M xuất hiện (x4 + y4 ) Ta có: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 = (x8 + 2x4y4 + y8) + (2x4y4 + 2x8) + 2y4 = (x4 + y4)2 + 2x4(x4 + y4) + 2y4 = 1 + 2x4 + 2y4 = 1 + 2(x4 + y4) = 3 2.6. Dạng toán: Chứng minh đẳng thức: Ví dụ: Cho (x + y)3 = x3 + y3 Chứng minh: (x + y)7 = x7 + y7 (*) Giải Từ (x + y)3 = x3 + y3 x3 + y3 + 3xy(x + y) = x3 + y3 3xy(x + y) = 0 - Nếu x = 0, hoặc y = 0 thì (*) luôn được chứng minh - Nếu x = - y thì (*) có dạng: 0 = 0 Vậy đẳng thức (*) đã được chứng minh. 2.7. Dạng toán: Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng với x, y , chứng minh: x + y4 Giải Ta dùng phép biến đổi tương đương. Ta có: x + y4 x2y2(x4 + y4) x8 + y8 x6(x2 – y2) – y6(x2 – y2) (x2 – y2)2(x4 + x2y2 + y4) Vậy x + y4 x8 + y8 – x6y2 – x2y6 (x2 – y2) (x6 – y6) (Bất đẳng thức luôn đúng) . TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 14 2.8. Dạng toán: Giải bài toán liên quan đến số nguyên tố: h.1.Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên a sao cho 2a + 1 là lập phương của một số Giải * Nếu a là số chẵn, a = 2. Thì 2a + 1 = 5 (loại) * Nếu a là số lẻ, thì 2a + 1 cũng là một số lẻ. Khi đó ta có: 2a + 1 = (2k + 1)3 2a + 1 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1 ( k N) a = k(4k2 + 6k + 3) Vì k N nên 4k2 + 6k + 3 1 k=1 Nên a = 13 (Thoả mãn), vì 2a + 1 = 27 = 33 h.2. Ví dụ 2: Tìm các cố tự nhiên m, n để m4 + 4n4 là số nguyên tố. Giải Ta có: m4 + 4n4 = m4 + 4n4 + 4m2n2 - 4m2n2 = (m2 + 2n2) – (2mn)2 = (m2 + 2n2 – 2mn)(m2 + 2n2 + 2mn) Do m, n là các số tự nhiên. Nên để m4 + 4n4 là số nguyên tố thì: m2 + 2n2 – 2mn = 1 (m – n)2 = 1- n2 -1 n = 1, hoặc n = 0 * Nếu n = 1 thì m = 1 (Thoả mãn). Vì m4 + 4n4 = 5 là số nguyên tố * Nếu n = 0 thì m = 1 (Loại). Vì m4 + 4n4 = 1 không phải là số nguyên tố Vậy với m = n = 1 thì m4 + 4n4 là số nguyên tố. 2.9. Dạng toán: Giải phương trình nghiệm nguyên: Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình. x + y = xy Giải Ta có: x + y = xy xy – x – y = 0 (x – 1)(y – 1) = 1 hoặc Vậy phương trình có hai nghiệm là: (2 ; 2) và (0 ; 0) 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG 3.a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) (x2 + y2 - 5)2 - 4x2y2 - 16xy - 16 (P2-Nhóm) 2) x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x) (Khai triển và nhóm lại) 3) (x - y + 4)2- (2x + 3y- 1)2 (HĐT) 4) 9x2 + 90x + 225 - (x-7)2 (HĐT) 5) xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 (Khai triển ra nhóm lại) 6) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz (Nhóm thành 3 nhóm) 7) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y) (Nhân ra nhóm lại) 8) a2 + 2b2 - 2c2 + 3ab + ac TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)